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医学数学模型中定积分微元法的构造

发布时间:2015-10-7      来源:admin      阅读次数:849

赵  珍

(河西学院医学部,甘肃 张掖734000)

【摘 要】定积分微元法是把实际问题通过分割、近似、求和取极限转化成定积分数学模型的方法,第一步是在区间中任意小区间上以均匀变化近似值代替非均匀变化,列出所求量的微元;第二步是对所求量的微元积分,即得所求量的定积分表达式。本文通过胰岛素平均浓度的测定、血液在动静脉血管中流量的测定、燃料稀释法确定心输出量等3个医学实例,说明利用数学定积分微元法模型解决医学问题时的构造方法及步骤。

【关键词】医学;定积分;微元法;构造

自1628 年英国医生哈维建立血流循环学说,18世纪欧拉利用积分方法计算了血流量问题以来,应用数学模型解决医学问题已在医学中广泛应用。数学模型就是对于一个现实对象,为了一个特定目的,根据内在规律,作出必要的简化假设,运用适当的数学工具,得到的一个数学结构。定积分微元法就是把实际问题通过分割、近似、求和取极限转化成定积分数学模型的方法,本文通过几个医学实例说明在医学中用定积分微元法构造数学模型的方法。

1.胰岛素平均浓度的测定

     1.1胰岛素

胰岛素是由胰岛B细胞受内源性或外源性物质(葡萄糖、乳糖、核糖、精氨酸胰高血糖素等)的刺激而分泌的一种蛋白质激素。胰岛素是机体内唯一降低血糖的激素,同时促进糖原、脂肪、蛋白质合成。胰岛素的分泌分成基础胰岛素和餐时胰岛素两部分,基础胰岛素是帮助维持空腹血糖正常而分泌的胰岛素;餐时胰岛素是为了降低餐后血糖升高、维持餐后血糖正常而分泌的胰岛素。正常人空腹血浆胰岛素浓度5~20mU/L,在注射大量的葡萄糖后, 30~60分钟后上升至高峰,高峰为基础值的5-10倍,3~4小时恢复到基础水平[4]。

1.2实验并计算胰岛素平均浓度

首先,让病人在实验前3天停服对实验有影响药物,调节情绪,禁食一夜后降低血糖水平,然后注射大量的葡萄糖,测得空腹、注射后一小时内胰岛素不同时间的浓度,计算病人一小时内血液胰岛素释放的平均浓度。

根据病人一小时内不同时间测得数据,可以得到一条时间-浓度曲线图(图一)。

如图一,过 点 做一条平行于t轴的直线,把区间[0,60]分成n个小区间,每个小区间与曲线构成n个曲边小梯形即每个小区间的平均胰岛素近似值为,将每个区间血液平均胰岛素求和,可得[0,60] 平均胰岛素的近似值,即:。当分割越小,n→∞时,区间平均胰岛素和的近似值极限就是平均浓度的精确值。[1]

计算平均胰岛素值就建立了定积分的数学模型,即

1.3 举例:

假设病人注射大量糖后, 1小时内病人血液胰岛素浓度与时间的函数式为 

其中k= ,时间t单位是1分钟,则一小时内血液胰岛素平均浓度[2]

2.血液在动静脉血管中的流量Q的模型公式

2.1血流量的概念

单位时间内流过血管某一截面的血量称为血流量, 血液中的一个质点在血管内移动的线速度,称为血流速度,按血管内流动方式分为层流和湍流两类,在层流的情况下,液体每个质点的流动方向都一致,与血管的长轴平行;但各质点的流速不相同,在血管轴心处流速最快,越靠近管壁,流速越慢[3]。

2.2动静脉血管中的流量Q的模型公式

血管是刚性血管,长为L,横截面圆的半径为R,血管两端血压分别为P1、P2 (P1 > P2),在血管横切面有一质点A离血管中心r处血流速度为V(t),假设血液粘稠度为η,粘稠度与血流速度成反比,与压力差成正比,r处血流速度则符合公式  。

 

如图二,把半径为R截面圆分为n 个圆环,每个圆环的厚度为,圆环面积近似值为,血流速度与血流量成正比,与血管的截面成反比,即在单位时间内通过第个i圆环的血流量的近似值         

    n个圆环血流量的近似值和为 ,当n→∞,n个圆环血流量近似值的和的极限值就是静脉血管中血流量的精确值Q

 

公式就是1842年法国内科医生泊肃叶建立的一个实验公式,即著名的泊肃叶公式,后经哈根(Hagen)采用积分的方法对公式进行了推导,成为研究人体血液循环力学、血液流变学的重要理论基础,是进行血液粘度的测定和利用奥氏粘度计、乌氏粘度计测定液体粘度的理论依据[5]。

3.燃料稀释法确定心输出量Q模型公式

3.1心输出量概念

心输出量是心脏每分钟射出的血量,是衡量心功能的重要指标。心输出量的测量方法有指示剂稀释法、阻抗法、超声、磁共振等方法。指示剂稀释法有Fick法、染料稀释法 、热稀释法,它的测定是通过某一方式将一定量的指示剂注射到血液中,经过在血液中的扩散,测定指示剂的变化来计算心输出量[3]。

3.2实验并确定心输出量Q模型公式

    将5mg无害、不易透出毛细血管并易于定量的染料注入静脉, 染料与血液混合并随血液循环通过心脏到达肺部,再返回心脏而进入动脉系统,在这过程中指示剂被稀释,最后下降而达零点。染料注入后开始在外周动脉中连续测量,测得3秒钟在动脉血内出现,第9~11秒浓度达峰值,据外推法到第18秒时浓度降至零点。

根据测量数据,可以得到一条时间——浓度的指示剂稀释曲线。

测定30秒内指示剂浓度,是一系列离散值,如果把时间段[0,30]分为n个等长的小时间段,假设第i微小时间段指示剂平均浓度近似值是,所有区间平均浓度近似值的和为,当分割越细n→∞时,极限值就越接近真实连续值,即平均浓度近似值和的极限值是30秒内指示剂的平均浓度,这就建立了定积分的数学模型。

当n∞ 时 指示剂总量平均浓度

 

 注入的染料量M与30秒测得的平均浓度的比是30秒心脏泵出的血量。假定Q为一分钟肺循环血流量,M为染料注入量,心输出量             

                 [6]

3.3举例

假定30秒内动脉血中染料的浓度和时间的函数关系是

       则1分钟内心输出量

                                 = 1.539

        [2]

用微元法解决实际问题归结为:(1)在区间中任意小区间以均匀变化近似值代替

非均匀变化,列出所求量的微元:dA=f(x)dx.(2)对上式积分,即得所求量A的定积分表达

式:,以上两步,关键第一步,要正确列出所求量的微元。

参 考 文 献

[1] 周人民.谈医学院校高等数学实例教学法的应用[J].科技信息,2009,25:2

[2] ]张选群.医用高等数学[M].人民卫生出版社,2004,4:75

[3] 于金贵.心输出量测定方法及其评价 ,第七次华东六省一市麻醉学学术会议,2008年.浙江杭州

[4]  李经.糖尿病和代谢综合征的监测与治疗.中国科学技术出版社,2006.1(第十章)

[5] 徐英勋.泊肃叶公式的推导及实验验证[J].安庆师范学院学报,2005,11,4:56-57

[6] 徐瑞俊。医学科研数学模型的应用[J].海军军医杂志,2001,22,4:352

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